Йогу римана роха гротендика
Что же до того, чтобы выразить идею, «высказать» то есть, то это часто почти такая же тонкая штука, как и само ее зачатие и медленное вынашивание в том, кого она осенила. Или, лучше сказать, этот тяжкий труд вынашивания и формирования есть не что иное, как процесс «выражения» идеи: труд, состоящий в том, чтобы терпеливо, день за днем, высвобождать ее из пелены тумана, что окружала ее с самого рождения, добиваясь понемногу придания ей осязаемой формы. Картина становится богаче красками, крепнет, ее рисунок делается резче и тоньше на протяжении недель, месяцев и лет. Просто назвать идею какой-нибудь выразительной формулировкой или ключевыми фразами, более или менее техническими, может быть делом нескольких строчек, даже страниц — но из тех, кто не знаком уже с ней достаточно хорошо, немногие смогут, услышав такое «имя», восстановить по нему лицо. И когда идея достигает полной зрелости, сотни страниц может оказаться достаточно, чтобы ее выразить, к полному удовлетворению работника, в чьей душе она зародилась — и точно так же может не хватить десяти тысяч страниц, тщательно взвешенных и обработанных .
И в том, и в другом случае среди тех, кто берется ознакомиться с трудом, представляющим идею, которая встала наконец во весь свой рост, как большой строевой лес, вдруг возросший на пустынной земле — многие, можно поручиться, отчетливо увидят все деревья, стройные и могучие, и найдут им применение (кто захочет на них взобраться, кто станет выделывать из них балки и доски, а кто-то еще, нарубив дров, разожжет огонь у себя в камине…). И все же редки те, что сумеют увидеть лес.
8. Пожалуй, можно сказать, что «концепция» есть не просто новая точка зрения, показавшая себя плодотворной, но еще и такая, за которой, ее воплощением, входит в науку новая и широкая тема. И всякая наука, если понимать ее не как инструмент власти и могущества, но как путешествие-приключение человеческого сознания, предпринятое века тому назад — есть не что иное, как гармония богатая или бедная тонами, смотря по эпохе, которая разворачивается перед нами, пока мы размениваем столетья и поколения, изысканным контрапунктом всех этих тем, вступающих поочередно — словно бы призванных из небытия, чтобы, переплетясь друг с другом, слиться в ней воедино.
Силою обстоятельств некоторые из этих идей «главнее», чем другие (которые, в свою очередь, тем самым менее значительны). Иными словами, среди новых тем, о которых шла речь, попадаются те, что шире остальных, и те, что глубже проникают в сердце математических тайн . Есть три (и не последние по масштабу, на мой взгляд),
1. Топологические тензорные произведения и ядерные пространства.
2. «Непрерывная» и «дискретная» двойственность (производные категории, «шесть операций»).
3. «Йога» Римана-Роха-Гротендика (К-теория, связь с теорией пересечений).
6. Этальные и /-адические когомологии.
7. Мотивы и мотивная группа Галуа ((^-категории Гротендика).
8. Кристаллы и кристальные когомологии, йога «коэффициентов де Рама», «коэффициентов Ходжа».
9. «Топологическая алгебра»: оо-стэки, derivateurs; когомологический формализм топосов как основа для новой гомотопической алгебры.
10. Ручная топология.
11. Нога анабелевой алгебраической геометрии, теория Галуа-Тейхмюллера.
12. «Теоретико-схемная», или «арифметическая» точка зрения на правильные многогранники и правильные конфигурации произвольного рода.
Если не считать первой из этих тем, важная часть которой вошла в мою диссертацию (1953), и которая получила развитие в период, когда я занимался функциональным анализом (с 1950 по 1955 г.), все одиннадцать остальных явились на свет в период моих занятий геометрией, начиная с 1955 г. которые, появившись только после моего ухода с математической сцены, находятся пока в зачаточном состоянии. «Официально» их даже не существует: ведь до сих пор не было не было ни одной выполненной по всем правилам публикации, которая стала бы для них свидетельством о рождении . Среди девяти тем, возникших до моего ухода, три последние, покинутые мною в разгаре роста, остаются еще и по сей день на младенческой стадии — за недостатком любящих рук, какие обеспечили бы всем необходимым этих «сироток», брошенных сводить счеты с враждебным миром . Что же касается других шести, достигших полной зрелости за два десятилетия, предшествовавшие моему уходу —
сятой) и в то же время предоставила ключевое понятие для полнейшего обновления алгебраической геометрии и ее языка.
Напротив, первая и последняя из двенадцати тем кажутся мне по своему масштабу скромнее прочих. И все же, если говорить о последней, представившей новый взгляд на весьма древнюю проблему правильных многогранников и конфигураций — сомневаюсь, что математику, который ей одной посвятил бы себя душой и телом, хватило бы жизни на то, чтобы ее исчерпать. Что касается первой из всех этих тем, топологических тензорных произведений и ядерных пространств, то она скорее играет роль нового инструмента, готового к использованию, чем основы для последующей разработки. При всем том, однако, до меня еще долетают — вплоть до этих последних лет — отрывочные отклики более или менее недавних работ, отвечающих (двадцать или тридцать лет спустя) на некоторые из вопросов, которые я тогда оставил неразрешенными.
Наиболее глубокая (на мой взгляд) среди этих двенадцати — тема мотивов, то есть та, что теснейшим образом связала анабелеву алгебраическую геометрию с йогой Галуа-Тейхмюллера.
С точки зрения технических возможностей инструментов, совершенно готовых и отшлифованных моими стараниями, и повседневного применения на различных «передовых участках» исследования в течение двух последних десятилетий, схемы и этальные и l-адические когомологии представляются мне среди прочих наиболее значительными. Я думаю, что уже сейчас у достаточно осведомленного математика не может быть никаких сомнений в том, что инструмент теоретико-схемный, как и вышедший из него /-адический, вошли в число серьезных достижений века, исполнивших свежими силами и обновивших нашу науку в ходе последних поколений.
Эти двенадцать главных тем моего труда совсем не отделены друг от друга. Для меня они составляют вместе единство духа и цели, проходящее всегдашним настойчивым лейтмотивом музыкального фона через весь мой труд, как «записанный» черным по белому, так и не переложенный на слова. Сейчас, когда я пишу эти строки, мне словно бы слышится вновь — как призыв — нота, ведшая тему сквозь те три года бескорыстного («низачем»), страстного, уединенного труда, пора, когда меня еще не тревожил вопрос, есть ли где в мире математики, кроме меня: так сильны были чары, меня захватившие…
Это единство — не просто знак самого работника, отметивший все труды, что вышли из-под его руки. Темы связаны между собой бессчетным множеством нитей, тончайших и вместе с тем легко заметных. Они соединены и тесно перевиты друг с другом, но каждая из них распознается без труда, раскрываясь вдруг составной частью сложного контрапункта — в гармонии, которая собирает их всех в одно и придает любой из них смысл, живость движения и полноту, увлекая ее вперед в общем потоке. Каждая отдельная тема словно бы вышла из этой гармонии, и в ней же — ежесекундно — рождается вновь. Но ведь гармония сама, кажется, не более чем «сумма», «итог» составивших ее тем: в самом деле, они появились раньше. А я, сказать по правде, не могу побороть в себе чувства (без сомнения, нелепого), что каким-то образом именно эта гармония, еще не возникнув во плоти, но уже наверное ожидая своего часа внутри неведомого нам лона, среди других идей, готовых родиться — что она-то и побуждала выйти на свет одну за другой все эти темы, предназначенные обрести свой настоящий смысл лишь с ее появлением. И еще чудится мне, что именно ее голос, властный и настойчивый, взывал ко мне уже в те годы пылкого, зачарованного одиночества — на самом пороге моей юности…
Источник
Йогу римана роха гротендика
- ЖАНРЫ 360
- АВТОРЫ 277 116
- КНИГИ 653 498
- СЕРИИ 24 991
- ПОЛЬЗОВАТЕЛИ 611 092
УРОЖАИ И ПОСЕВЫ
Мы посвящаем этот перевод памяти наших друзей Ани Погосянц и Игоря Слободкина, трагически погибших 15 декабря 1995 г.
Ю. Фридман, М. Финкельберг
Размышления о прошлом математика
Перевод с французского Ю.Фридман Под редакцией Г. Нуждина и В.Прасолова Ответственный за выпуск М. Финкельберг
ЧАСТЬ I. ПРЕЛЮДИЯ В ЧЕТЫРЕХ ЧАСТЯХ 11
I. Вместо предисловия…………………… 13
II. Прогулка по творческому пути, или дитя и Мать … 19
1. Магия вещей………………………. 19
2. О том, как важно быть одному……………… 23
3. Путешествие по внутреннему миру, или миф и свидетельство 26
4. Картина нравов…………………….. 29
5. Наследники домов и их строители……………. 30
6. Точки зрения и видение ………………… 34
7. Концепция, или лес за деревьями……………. 37
8. Видение, или двенадцать тем симфонии ………… 40
9. Форма и структура, или голоса вещей………….. 45
10. Новая геометрия, или союз числа и величины……… 48
11. Магический веер, или невинность творит чудеса……. 52
12. Топология, или с какой меркой подходить к туману на рассвете 54
13. Топос, или ложе для новобрачных……………. 58
14. Перерождение понятия пространства, или смелость и вера . . 62
15. Всем коням царским……………………. 64
16. Мотивы, или ядро в ядре………………… 65
17. Открытие Матери, или два склона……………. 70
18. Дитя и Мать………………………. 74
19. Колокола звонят колыбельную, или трое карапузов за покойника 77
20. Заглянем к соседям напротив ……………… 79
21. «Незаменимое», или дар одиночества ………….. 84
ЧАСТЬ II. САМОДОВОЛЬСТВО И ОБНОВЛЕНИЕ 89
I. Труд и открытие………………….. 91
1. Ребенок и Господь Бог …………………. 91
2. Ошибка и открытие…………………… 93
3. О чем не принято говорить вслух……………. 95
4. Непогрешимость (других) и презрение (к себе) …….. 97
II. Мечта и Мечтатель………………… 99
5. Мечта под запретом…………………… 99
6. Мечтатель ……………………….. 103
7. Наследие Галуа……………………… 106
8. Грезы и доказательства…………………. 109
III. О том, как страх пришел в математику…….. 111
9. Желанный иностранец …………………. 111
10. «Математическое общество»: жизнь и вымысел …….. 116
11. Встреча с Клодом Шевалле, или: свобода и лучшие чувства . 118
12. Заслуги и презрение…………………… 121
13. Сила и толстокожесть………………….. 125
14. Появление страха……………………. 130
16. Болото и первые ряды………………….. 133
17. Терри Миркил……………………… 135
18. Двадцать лет высокомерия, или терпеливый друг……. 137
19. Мир без любви……………………… 139
20. Мир без войны?…………………….. 142
21. Неразгаданный секрет Полишинеля…………… 147
22. Бурбаки, или редкая удача — и ее оборотная сторона …. 149
23. De Profundis………………………. 152
24. Прощание, или: среди чужих………………. 153
V. Учитель и ученики ………………… 158
25. Ученик и Программа………………….. 158
26. Два вида строгости…………………… 161
27. Помарка, или двадцать лет спустя……………. 164
28. Несобранный урожай………………….. 166
29. Отец-противник (1)…………………… 169
30. Отец-противник (2)…………………… 173
31. Власть лишить веры в себя……………….. 175
32. Этика математического ремесла…………….. 182
33. Судьба одной заметки — или новая этика……….. 186
34. Мутная вода и источник………………… 190
35. Мои страсти………………………. 194
36. Желание и медитация………………….. 199
37. Восхищение……………………….. 204
38. Вернуться к началу и принять обновление……….. 208
39. Цвет дня и цвет ночи (или Авгиевы конюшни)……… 210
40. Математика как вид спорта ………………. 214
41. С каруселью покончено!…………………. 218
VII. Детские забавы…………………… 222
43. Хозяин вмешивается, или мальчишка под замком……. 225
44. Опять задний ход!……………………. 228
45. Гуру-не-Гуру, или лошадка о трех ногах………… 230
VIII. Игра в одиночку………………….. 233
46. Запретный плод…………………….. 233
47. Игра в одиночку…………………….. 237
48. О дарах и о том, как их принимают…………… 241
49. Двойственность…………………….. 243
50. Груз прошлого……………………… 245
1. Мои друзья по Survivre et Vivre 6 11
2. Альдо Андреотти, Ионел Букур 11 14
3. Иисус и двенадцать апостолов 19 25
4. Ребенок и учитель 23 26
5. Страх вступает в игру 23″ 29
6. Два брата 23″‘ 29
7. Усилия преподавателя пошли прахом (1) 23iv 31
8. Профессиональная честность —
и контроль над информацией 25 32
9. «Юношеский снобизм»,
или поборники чистоты 27 33
10. Сто подков на огне, или:
не лезь вон из кожи! 32 36
11. Немощные объятия 34 37
12. Посещение 40 45
12. Кришнамурти, или о том, как
освобождение принесло новые цепи 41 45
13. Боль, обернувшаяся благом 42 45
Примечания даются не в виде сносок, а собраны все вместе после основного текста. Некоторые из них даже имеют собственные названия. Здесь приводится их список с порядковыми номерами (средний столбец) и номерами разделов, к которым данные примечания относятся (правый столбец). — Прим. перев.
Примечания 44′ и далее (к § 50 «Груз прошлого») не вошли в этот список: они составляют часть «Похороны».
В 1986 году в Университете Монпелье вышел препринт «Recoltes et Semailles» Александра Гротендика. Нет нужды представлять читателям автора — великого математика нашего времени. Напомню только, что Александр Гротендик родился в Берлине в 1928 году, работал в Institut des Hautes Etudes Scientifiques (IHES) под Парижем с 1958 года (с момента основания), порвал с математическим истэблишментом в 1970 году, успев к тому времени построить новый мир алгебраической геометрии, а сейчас живет в деревушке в Пиренеях. Через несколько страниц начинается рассказ самого Гротендика о его жизни.
«Recoltes et Semailles» так и не были опубликованы, и сейчас этот препринт можно найти только в частных библиотеках (его нет даже в библиотеке IHES) — преимущественно, у математиков, которым Гротендик послал его лично (например, в работе над переводом использовалась копия экземпляра, принадлежащего Б.Мазуру). Он состоял из следующих частей:
Прелюдия в четырех частях (Вместо предисловия; Прогулка по творческому пути, или дитя и Мать; Письмо; Введение).
Самодовольство и обновление.
Похороны (I), или Платье голого короля.
Похороны (II), или Ключ к Инь и Ян.
Похороны (III), или Четыре действия.
В 1995-96 году в издательстве Независимого Московского Университета вышел перевод Самодовольства и Обновления и первых двух частей Прелюдии. Читателям предлагается второе издание этого перевода. Сейчас готовится перевод части Похороны (II). Я прошу у читателей прощения за выборочность перевода: будучи ограничен во времени и средствах, я просил Юлю Фридман перевести части, которые показались мне наиболее интересными, хотя это и вступает в очевидное противоречие с духом и буквой «Recoltes et Semailles». Среди прочих неудобств, ссылки на части, перевод которых не вышел, даются по страницам оригинала.
Одно обозначение: на страницах книги множество раз упоминается ее заглавие. В таких случаях употребляется аббревиатура «РС» («Размышления и свидетельства»).
Источник