Тригонометрия примеры для тренировки

1. Решить уравнение cos2x = 1/2.

Используем метод решения простейших тригонометрических уравнений и получаем:

2x = ±arccos(1/2) + 2πn = ±π/3 + 2πn (здесь и далее, n ∈ Z).

Откуда x = ±π/6 + πn.

Ответ: x = ±π/6 + πn.

2. Решить уравнение sin(3 — 2x) = -1/2.

Используем формулу из методов решений, имеем:

3 — 2x = (-1)n(arcsin(-1/2)) + πn = (-1)n(-π/6) + πn (здесь и далее n ∈ Z).

Делаем преобразование и получаем x = 3/2 + π/12(-1)n — πn/2.

Ответ: x = 3/2 + π/12(-1)n — πn/2.

3. Решить уравнение cos2x — 3sinx = 2.

Воспользуемся формулой удвоенного угла косинуса (cos2a = 1 — 2sin2a) и получим:

1 — 2sin2x — 3sinx = 2.

Воспользуемся методом замены, обозначим sinx = y. Уравнение примет вид:

Находим его корни: y1 = -1, y2 = -1/2.

Возвращаемся к исходной переменной и получаем совокупность sinx = -1 и sinx = -1/2.

Из первого получаем решение — x = -π/2 + 2πn, из второго — x = (-1)m(-π/6) + πm (m, n ∈ Z).

Ответ: x = -π/2 + 2πn или x = (-1)m(-π/6) + πm.

4. Решить уравнение 2tgx — 3ctgx = 1.

Так как ctgx = 1/tgx при x ≠ πn/2 (n ∈ Z) получаем уравнение

2tgx — 3/tgx = 1 или 2tg2x — tgx — 3 = 0.

Вводим новую переменную tgx = y и решаем квадратное уравнение 2y2 — y — 3 = 0 относительно y.

Оно имеет два решения y1 = 3/2, y2 = -1.

Возвращаемся к исходной переменной и решаем два уравнения:

tgx = 3/2, откуда x = arctg(3/2) + πn, n ∈ Z.

tgx = -1, откуда x = arctg(-1) + πm = -π/4 + πm, m ∈ Z.

Ответ: x = arctg(3/2) + πn или x = -π/4 + πm.

5. Решить уравнение 3cosx — sin2x = 1 — sin3x.

Сделаем следующее преобразование 3(cosx + sinx) = 1 + sin2x.

Замена cosx + sinx = t приведет к уравнению 3t = t2. Оно имеет корни t1 = 0, t2 = 3.

Берем первый корень, возвращаем замену и получаем cosx + sinx = 0, делим на cosx ≠ 0, откуда tgx = -1, x = -π/4 + πn (n ∈ Z).

Второй корень t2 дает уравнение cosx + sinx = 3. Это уравнение не имеет решений, т.к. и cosx, и cosx меньше равны 1, в сумме меньше равны 2.

Ответ: x = -π/4 + πn.

6. Решить уравнение cos2x + cos4x + cos6x = 0.

Проделаем следующие преобразования

(cos2x + cos6x) + cos4x = 0;

2cos4xcos2x + cos4x = 0;

cos 4 x (2 cos 2 x + 1) = 0.

Имеем два случая:

cos4x = 0, откуда 4x = π/2 + πn, x = π/8 + πn/4 (n ∈ Z).

2cos2x + 1 = 0 или cos2x = -1/2, откуда 2x = ±2π/3 + 2πm, x = ±π/3 + πm (m ∈ Z).

Ответ: x = π/8 + πn/4 или x = ±π/3 + πm.

7. Решить уравнение cos5x = cos2x.

Переносим в одну сторону и применяем формулу разницы косинусов:

sin (7 x /2) sin (3 x /2) = 0;

Откуда либо sin(7x/2) = 0, либо sin(3x/2) = 0.

Из первого: 7x/2 = πn или x = 2πn/7 (n ∈ Z).

Из второго: 3x/2 = πn или x = 2πm/3 (m ∈ Z).

Ответ: x = 2πn/7 или x = 2πm/3.

8. Решить уравнение sin3x — 2cos2xsinx = 0.

Для начала отметим, что можно вынести sinx за скобки:

sinx(sin2x — 2cos2x) = 0.

Уравнение распадается на два случая:

sinx = 0, откуда x = πn (n ∈ Z).

sin2x — 2cos2x = 0. Заметим, что данное уравнение однородное. Делим его на cos2x ≠ 0 и получаем:

Ответ: x = πn или x = ±arctg√2 + πm

9. Решить уравнение 4sin2x — 3sinxcosx + 5cos2x = 3.

Заметим, что если бы в правой части был ноль, данное уравнение было бы однородным и мы знали как его решить. Проведем преобразование и сделаем его таковым:

sin2x — 3sinxcosx + 2cos2 + 3(sin2x + cos2x) = 3;

sin2x — 3sinxcosx + 2cos2x = 0.

А вот это уравнение является однородным, потому делим обе его части на sin2x ≠ 0 (ведь, если sinx = 0, то и cosx = 0, что одновременно невозможно).

1 — 3ctgx + 2ctg2x = 0;

2ctg2x — 3ctgx + 1 = 0.

Теперь мы можем использовать замену переменной, а именно ctgx = t и решать квадратное уравнение относительно t:

Уравнение имеет корни t1 = 1, t2 = 1/2.

Возвращаемся к неизвестному x и получаем

из t1: ctgx = 1, откуда x = π/4 + πn (n ∈ Z);

из t2: ctgx = 1/2, откуда x = arcctg(1/2) + πm (m ∈ Z).

Ответ: x = π/4 + πn или x = arcctg(1/2) + πm.

10. Решить уравнение sinx + tg(x/2) = 2.

Заметим, что числа π + 2πn (n ∈ Z) не являются корнями данного уравнения, потому можно воспользоваться универсальной заменой tg(x/2) = t. Тогда уравнение примет вид:

t3 — 2t2 + 3t — 2 = 0;

t2(t — 1) — (t2 — 3t + 2) = 0;

t2(t — 1) — (t — 2)(t — 1) = 0;

(t — 1)(t2 — t + 2) = 0;

Так как второй множитель всегда положителен, то решение одно t = 1. Возвращаясь к исходному неизвестному получаем:

x = π/2 + 2πn, n ∈ Z.

Ответ: x = π/2 + 2πn.

11. Решить уравнение 4sinx — 3cosx = 3.

Применим универсальную замену tg(x/2) = y. Отметим, что числа π + 2πn (n ∈ Z) являются корнями указанного уравнения, потому добавляем их к ответу.

Замена же приводит к следующему уравнению:

Делая преобразования получаем 8y = 6;

Возвращаемся к исходной переменной tg(x/2) = 3/4, откуда

x = 2arctg(3/4) + 2 π n (n ∈ Z).

Ответ : x = 2arctg(3/4) + 2 π n или x = π + 2 π n.

12. Решить уравнение sin3x cos8x = 1.

Используем формулу произведения синуса и косинуса:

(sin(3x + 8x) + sin(3x — 8x))/2 = 1;

sin11x — sin5x = 2.

Отметим, что |sin11x| ≤ 1 и |sin5x| ≤ 1, а потому левая часть может равняться 2 лишь в случае, когда sin11x = 1 и sin5x = -1.

Решая первое уравнение sin11x = 1 приходим к ответу x = π/22 + 2πn/11 (n ∈ Z).

Решая второе уравнение sin5x = -1 приходим к ответу x = -π/10 + 2πm/5 (m ∈ Z).

Найдем те случаи, когда оба условия выполняются, т.е.

π/22 + 2πn/11 = -π/10 + 2πm/5;

(4n + 1)π/22 = (4m — 1)π/10;

5n = 11m — 4 (n, m ∈ Z).

Данное уравнение называется диофантовым и имеет следующие решения: m = 4 + 5t, n = 8 + 11t (n, t, m ∈ Z).

Откуда x = -π/10 + 2πm/5 = -π/10 + 2π(4 + 5t)/5 = 3π/2 + 2πt (t ∈ Z).

Ответ: x = 3π/2 + 2πt.

13. Решить уравнение ctg2x = cos22x — 1.

Сделаем преобразование cos22x — 1 = -sin22x и получим:

Отметим, что ctg2x ≥ 0, а -sin22x ≤ 0. Равенство выполняется, когда ctg2x = 0 и sin22x = 0.

Первое уравнение ctg2x = 0 имеет решение x = π/2 + πn (n ∈ Z).

Второе уравнение sin22x = 0 имеет решение x = πm/2 (m ∈ Z).

Найдем общее решение:

n = 3 + 2t, m = 1 + t (m, n, t ∈ Z).

Откуда x = π m/2 = (1 + t) π /2 = 3 π /2 + π t (t ∈ Z).

Ответ: x = 3π/2 + πt.

14. Решить уравнение sin3x cos5x = 1.

Используем формулу произведения синуса и косинуса:

(sin8x — sin2x)/2 = 1;

sin8x — sin2x = 2.

Уравнение будет иметь решения лишь тогда, когда sin8x = 1, а sin2x = -1.

Первое уравнение sin8x = 1 имеет решения x = π/16 + πn/4 (n ∈ Z) (*).

Второе уравнение sin2x = -1 имеет решения x = -π/4 + πm (m ∈ Z) (**).

Найдем решения, удовлетворяющие оба случая:

π/16 + πn/4 = -π/4 + πm;

Левая часть уравнения делится на 4, правая — нет. Потому данное уравнение не имеет решения в целых числах. А значит и общих решений у (*) и (**) нет.

Источник

Решение тригонометрических уравнений – 39 примеров!

Привет, самый лучший ученик во Вселенной!

Сегодня мы с тобой изучим, как решать одну из разновидностей уравнений – тригонометрические. Мы решим 39(!) примеров, от самых простых, до самых сложных.

И станем на шаг ближе к заветной цели – сдать ЕГЭ по математике так, чтобы поступить в ВУЗ мечты!

Тригонометрические уравнения – коротко о главном

Тригонометрическое уравнение – это уравнение, в котором неизвестная находится строго под знаком тригонометрической функции.

Существует два способа решения тригонометрических уравнений:

Первый способ – с использованием формул.

Второй способ – через тригонометрическую окружность.

Тригонометрическая окружность позволяет измерять углы, находить их синусы, косинусы и прочее.

Чтобы уметь решать тригонометрические уравнения необходимо знать как минимум следующее:

что такое синус, косинус, тангенс, котангенс;
какие знаки принимает та или иная тригонометрическая функция в разных четвертях тригонометрической окружности;
какие из этих функций нечётные, а какие – чётные;
знание значений тригонометрических функций в основных углах 1 четверти.

Если ты что-то не знаешь, повтори следующие разделы:

Этого будет вполне достаточно. Если это по ходу моего повествования окажется не так, то не сердись, придётся вспомнить что-нибудь ещё, не упомянутое здесь.

Простейшие тригонометрические уравнения

Что же это такое, как ты думаешь? Является ли, например, уравнение

Ты и сам прекрасно понимаешь, что нет! Потому что ни одной тригонометрической функции \( \displaystyle \left( sin x,cos x,tg x,ctg x \right)\) в нём и в помине нет!

А что насчёт вот такого уравнения?

И опять ответ отрицательный!

Это так называемое уравнение смешанного типа.

Оно содержит как тригонометрическую составляющую, так и линейную (\( \displaystyle 3x\)).

Некоторые типы подобных уравнений мы будем с тобой решать в следующих раздела этой статьи.

Но вернёмся к вопросу: “Что же такое тригонометрические уравнения?”

Тригонометрические уравнения –это уравнения, в которых неизвестная находится строго под знаком тригонометрической функции!

\( \displaystyle 6co<~~^<2>>x+5sin-7=0\)~~

\( \displaystyle sin\pi \sqrt=-1\)

\( \displaystyle \frac<3><5>sinx+\frac<4><5>cosx=1\) и т.д.

Однако для начала мы не будем решать сложные и иногда неприступные тригонометрические уравнения, а ограничимся самыми простыми уравнениями вида:

\( \displaystyle sinf\left( x \right)=a\)

\( \displaystyle cosf\left( x \right)=a\)

\( \displaystyle tgf\left( x \right)=a\)

\( \displaystyle ctgf\left( x \right)=a\)

Где \( \displaystyle a\) – некоторое постоянное число.

Например: \( \displaystyle 0,5;

\( \displaystyle f\left( x \right)\) – некоторая функция, зависящая от искомой переменной \( \displaystyle x\), например \( \displaystyle f\left( x \right)=x,

f\left( x \right)=2-x,

f\left( x \right)=\frac<\pi x><7>\) и т. д.

Такие уравнения называются простейшими!

Основная цель решения ЛЮБОГО тригонометрического уравнения – это свести его к виду простейшего!

Для этого, как правило, используют аппарат, который я описал в разделе “Формулы тригонометрии“

Так что очень важно, я бы даже сказал, жизненно необходимо научиться решать простейшие уравнения, ибо они – фундамент для решения сложных примеров.

Как часто тригонометрические уравнения встречаются на ЕГЭ?

Тригонометрические уравнения могут встретиться до четырех раз в заданиях ЕГЭ. Это может быть:

Задача №5 (простейшее тригонометрическое уравнение – встречается время от времени);

Задача №10 (задача с прикладным содержанием, которая включает в себя решение тригонометрического уравнения – встречается изредка);

Задача №12 (она на производную, но в конечном счёте сводится к решению простейшего тригонометрического уравнения – ЧАСТО ВСТРЕЧАЕТСЯ В ЕГЭ)

Задача №13 – даёт 2 первичных балла – (решение тригонометрического уравнения средней или высокой сложности – ОЧЕНЬ ЧАСТО, ПРАКТИЧЕСКИ ВСЕГДА!)

Так что, как ты понимаешь, при некоторых раскладах, навык решения данного вида уравнений может добавить в твою копилку аж 5 первичных баллов из 32!

Два способа решения тригонометрических уравнений – через формулы и по кругу

В принципе, я не могу сказать, что легче: держать в голове, как строится круг, или помнить 4 формулы.

Тут решать тебе самому, однако я всё же предпочитаю решать данные уравнения через формулы, поэтому здесь я буду описывать именно этот метод.

Вначале мы начнём с «самых простейших» из простейших уравнений вида:

Я хочу сразу оговориться вот о чем, будь внимателен:

Уравнения вида: \( \displaystyle sinf\left( x \right)=a\), \( \displaystyle cosf\left( x \right)=a\) имеют смысл только тогда, когда \( \displaystyle -1\le \text\le 1\)

То есть, тебе не надо знать вообще никаких формул, чтобы спокойно ответить, что уравнения, например:

\( \displaystyle cos\left( 3-sin\left( x \right) \right)=2\)

\( \displaystyle sin\left( 2<^<2>>-2x+1 \right)=-3\)

Корней не имеют.

Потому что они “не попадают” в промежуток от минус единицы до плюс единицы.

Ещё раз скажу: внимательно обдумай эти слова, они уберегут тебя от многих глупых ошибок.

Для остальных же случаев тригонометрические формулы такие как в этой таблице.

\( \displaystyle A\) \( \displaystyle a\) \( \displaystyle -1\) \( \displaystyle 0\) \( \displaystyle 1\)

\( \displaystyle \sin x=A\) \( \displaystyle <<\left( -1 \right)>^>\arcsin \alpha +\pi n\) \( \displaystyle -\frac<\pi ><2>+2\pi n\) \( \displaystyle \pi n\) \( \displaystyle \frac<\pi ><2>+2\pi n\)

\( \displaystyle \cos x=A\) \( \displaystyle \pm \arccos \alpha +2\pi n\) \( \displaystyle \pi +2\pi n\) \( \displaystyle \frac<\pi ><2>+\pi n\) \( \displaystyle 2\pi n\)

\( \displaystyle tgx=A\) \( \displaystyle arctg\alpha +\pi n\) \( \displaystyle -\frac<\pi ><4>+\pi n\) \( \displaystyle \pi n\) \( \displaystyle \frac<\pi ><4>+\pi n\)

\( \displaystyle ctgx=A\) \( \displaystyle arcctg\alpha +\pi n\) \( \displaystyle \frac<3\pi ><4>+\pi n\) \( \displaystyle \frac<\pi ><2>+\pi n\) \( \displaystyle \frac<\pi ><4>+\pi n\)

На самом деле в этой таблице данных немного больше, чем нужно.

Тебе нужно лишь запомнить первые два её столбца, другие столбцы – частные случаи решения тригонометрических уравнений.

Я, допустим, никогда не утруждаю себя их запоминанием, а вывожу ответ из основных формул.

Глядя на таблицу, не возникло ли у тебя пары вопросов?

У меня бы возникли вот какие:

Что такое \( \displaystyle n\) и что такое, например \( \displaystyle arcsin\alpha

Отвечаю на все по порядку:

\( \displaystyle n\) – это любое целое число \( \displaystyle \left( 0,\text< >1,\text< >-1,\text< >2,\text< >-2,\text< >\ldots .\text < >\right)\).

В чем уникальная особенность тригонометрических уравнений перед всеми остальными, которые ты изучал?

ОНИ ИМЕЮТ БЕСКОНЕЧНОЕ КОЛИЧЕСТВО КОРНЕЙ.

И число \( \displaystyle n\) и служит для обозначения этой «бесконечности».

Конечно, вместо \( \displaystyle n\) можно писать любую другую букву, только не забывай добавить в ответе: \( \displaystyle n\in Z\) – что означает, что \( \displaystyle n\) – есть любое целое число.

Теперь насчёт арксинуса и других «арок». Вообще, так записываются обратные тригонометрические функции и понимать, скажем, \( \displaystyle arcsin\alpha \) надо как “угол, синус которого равен \( \displaystyle \alpha \)“

\( \displaystyle arcsin\alpha\)– угол, синус которого равен \( \displaystyle \alpha\)

\( \displaystyle arccos\alpha\)– угол, косинус которого равен \( \displaystyle \alpha\)

\( \displaystyle \alpha\)\( \displaystyle arctg\alpha\)– угол, тангенс которого равен \( \displaystyle \alpha\)

\( \displaystyle \alpha\)\( \displaystyle arcctg\alpha\) – угол, котангенс которого равен \( \displaystyle \alpha\)

\( \displaystyle \arcsin \left( 0 \right)=0,\)

\( \displaystyle \arccos \left( \frac<\sqrt<2>><2>\right)=\frac<\pi ><4>,\)

\( \displaystyle \ arctg\left( 1 \right)=\frac<\pi ><4>,\)

\( \displaystyle \arcsin \left( 0,5 \right)=\frac<\pi ><6>,\)

\( \displaystyle \arccos \left( \frac<\sqrt<3>><2>\right)=\frac<\pi ><6>,\)

\( \displaystyle \ arctg\left( \sqrt <3>\right)=\frac<\pi ><3>\)

Алгоритм вычисления арксинусов и других “арок”

Смотрим на то, что стоит под «аркой» – какое там число

Смотрим, какая у нас «арка» – для синуса ли, или для косинуса, тангенса или котангенса

Смотрим, чему равен угол (1 четверти), для которого синус, косинус, тангенс, котангенс равен числу, стоящему под аркой

Записываем ответ

Вот простой пример вычисления аркосинуса:

\( \displaystyle \arccos \left( \frac<\sqrt<3>> <2>\right)\)

Под аркой число \( \displaystyle \frac<\sqrt<3>><2>\)

Арка для функции – косинус!

Косинус какого угла равен \( \displaystyle \frac<\sqrt<3>><2>\)? Угла \( \displaystyle \frac<\pi ><6>\) (или \( \displaystyle 30\) градусов!)

Тогда \( \displaystyle \arccos \left( \frac<\sqrt<3>><2>\right)=\frac<\pi ><6>\)

\( \displaystyle \frac<\pi ><6>\) и \( \displaystyle \frac<\pi ><3>\).

Если “арка” берется от отрицательного числа?

Всё ли я сказал про “арки”? Почти что да! Остался вот какой момент.

Что делать, если “арка” берётся от отрицательного числа?

Лезть в таблицу – как бы не так! Для арок выполняются следующие формулы:

\( \displaystyle \text\left( -\alpha \right)=-\text\alpha \)

\( \displaystyle \text\left( -\alpha \right)=-\text\alpha \)

И внимание.

Чтобы запомнить, ориентируемся на обычные тригонометрические функции: грубо говоря, синус и тангенс мы смотрим на тригонометрической окружности по вертикальной оси, а косинус и котангенс – по горизонтальной.

Соответственно, для арксинуса и арктангенса выбираем две четверти по вертикали: первую и четвёртую (минусик выносится из аргумента и ставится перед функцией), а для арккосинуса и арккотангенса – по горизонтали: первую и вторую.

В первой и второй четвертях аргумент уже не может быть отрицательным, поэтому и получаются формулы не совсем похожими.

Ну всё, теперь мы можем приступать к решению простейших уравнений!

Решение 11-ти простейших тригонометрических уравнений

Уравнение 1. \( \displaystyle sin\left( x \right)=0,5\)

Запишу по определению:

\( \displaystyle x=<<\left( -1 \right)>^>\arcsin \left( 0,5 \right)+\pi n,

Всё готово, осталось только упростить, посчитав значение арксинуса.

Источник

Читайте также: Гимнастика при артрозе коленного сустава 2 степени евдокименко

Тригонометрия примеры для тренировки

Сборник заданий на тему «Тригонометрические функции»

Правописание приставок. Задание №10 ЕГЭ-2022

Рабочие тетради для подготовки к итоговому сочинению

Онлайн-консультации по подготовке к ЕГЭ-2022 от ФИПИ