Квадратные уравнения задания для тренировки с ответами

Записываем сначала, чему равны числовые коэффициенты a, b и c.

Коэффициент a всегда стоит перед x 2 , коэффициент b всегда перед переменной x, а коэффициент c – это свободный член.
a=1,b=-1,c=-6
D=b 2 -4ac=(-1) 2 -4∙1∙(-6)=1+24=25

Дискриминант больше нуля, следовательно, у нас два корня, найдем их:

№2 x 2 +2x+1=0
Записываем, чему равны числовые коэффициенты a,b и c.
a=1,b=2,c=1
D=b 2 -4ac=(2) 2 -4∙1∙1=4-4=0
Дискриминант равен нулю, следовательно, один корень:
x=-b/2a=-2/(2∙1)=-1

№3 7x 2 -x+2=0
Записываем, чему равны числовые коэффициенты a,b и c.
a=7,b=-1,c=2
D=b 2 -4ac=(-1) 2 -4∙7∙2=1-56=-55
Дискриминант меньше нуля, следовательно, корней нет.

Рассмотрим неполное квадратное уравнение:
ax 2 +bx=0, где числовой коэффициент c=0.

Пример как выглядят такие уравнения: x 2 -8x=0, 5x 2 +4x=0.

Чтобы решить такое уравнение необходимо переменную x вынести за скобки. А потом каждый множитель приравнять к нулю и решить уже простые уравнения.
ax 2 +bx=0 x(ax+b)=0 x₁=0 x₂=-b/a

№1 3x 2 +6x=0
Выносим переменную x за скобку,
x(3x+6)=0
Приравниваем каждый множитель к нулю,
x₁=0 3x+6=0 3x=-6 x₂=-2

№2 x 2 -x=0
Выносим переменную x за скобку,
x(x-1)=0
Приравниваем каждый множитель к нулю,
x₁=0
x₂=1

Рассмотрим неполное квадратное уравнение:
ax 2 +c=0, где числовой коэффициент b=0.

Чтобы решить это уравнение, нужно записать так:
x 2 =c/a , если число c/a будет отрицательным числом, то уравнение не имеет решения.
А если c/a положительное число, то решение выглядит таким образом: корень квадратного уравнения

№1 x 2 +5=0
x 2 =-5, видно, что -5 2 -12=0
3x 2 =12
x 2 =12/3
x 2 =4
x₁=2

2) Тренировочные задания на решение квадратных уравнений 8 класс алгебра.

Задания для устного решения:

1. Решите неполное квадратное уравнение:

Источник

Квадратные уравнения задания для тренировки с ответами

Найдите корни уравнения .

Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания.

Решите уравнение .

Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания.

По теореме, обратной теореме Виета, сумма корней равна 1, а их произведение −6.

Тем самым, это числа −2 и 3.

Решите уравнение .

Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания.

Запишем уравнение в виде По теореме, обратной теореме Виета, сумма корней равна −3, а их произведение −4.

Тем самым это числа −4 и 1.

Решите уравнение .

Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания.

Запишем уравнение в виде По теореме, обратной теореме Виета, сумма корней равна 2, а их произведение −8.

Тем самым это числа −2 и 4.

Решите уравнение .

Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания.

По теореме, обратной теореме Виета — сумма корней равна −7, а их произведение равно −18

Тем самым, это числа −9 и 2.

Найдите корни уравнения

Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания.

Запишем уравнение в виде:

По теореме Виета, сумма корней равна 5, а их произведение равно 4. Тем самым, это числа 4 и 1.

Уравнение имеет корни −6; 4. Найдите

По теореме Виета

Квадратный трёхчлен разложен на множители: Найдите

Корни уравнения — суть числа −9 и 3. В силу формулы где и уравнения получаем Следовательно,

Источник

Практикум по теме «Решение задач с помощью квадратных уравнений»

Практикум по теме «Решение задач с помощью квадратных уравнений».

Пример заполненной таблицы с решениями для некоторых задач и ответами для учителя. опубликовано на инфоурок 23.02.2017г.

Если Вы уберёте колонку Ответы, получите раздатку для учащихся. Я использую такие практикумы для самост. работ по вариантам, для домашней работы. Практикум содержит задачи различной степени сложности и подойдут разным категориям учащихся. Всего задач 21, тексты задач взяты из учебников разных авторов, а задачи № 10, 11,18 с математических сайтов.

Сумма квадратов двух последовательных натуральных чисел на 91 больше их произведения. Найдите эти числа. Уравнение. х 2 +(х+1) 2 -х(х-+1)=91

Одно число меньше другого на 8. Найдите эти числа, если их произведение равно -16. Уравнение. х( х — 8) =-16, х 2 -8х+16=0. (х-4) 2 =0, х=4. второе число 4-8= -4.

Произведение двух натуральных чисел, одно из которых на 5 больше другого, равно 104. Найдите эти числа.

Решение . Пусть х – меньшее из данных чисел, тогда (х + 5) – большее из данных чисел. По условию задачи х · (х + 5) = 104. Решим полученное уравнение х² + 5х – 104 = 0, D = 441, х = — 13 — не удовлетворяет условию задачи (натуральные числа); х = 8 — меньшее число. Тогда 8 + 5 = 13 — большее число.

Найти два последовательных натуральных числа, произведение которых равно 210. Уравнение: х(х+1)=210

Площадь прямоугольника, одна из сторон которого на 3 см больше другой, равна 54 см². Найти стороны и периметр прямоугольника. Уравнение: х(х+3)=54

6 и 9 см. Р=28 см.

Произведение двух натуральных чисел, одно из которых на 5 больше другого, равно 66. Найдите эти числа.

Аквариум с прямоугольным дном занимает на столе площадь, равную 465 см 2 . Ширина дна аквариума на 16 см меньше длины. Найдите ширину и длину дна аквариума.

В прямоугольном треугольнике один катет больше другого на 7 см, а гипотенуза больше меньшего катета на 8 см. Найдите стороны треугольника.

Решение . Пусть х см – длина меньшего катета, х² + (х + 7)² = (х + 8)².Решим полученное уравнение. х² – 2х – 15 = 0, х = — 3, — не удовлетворяет условию задачи. х = 5 (см) — меньший катет. Тогда 5 + 7 = 12(см) – больший катет, 5 + 8 = 13(см) – гипотенуза.

5 см, 12 см и 13 см.

Найдите катеты прямоугольного треугольника, если известно, что один из них на 4 см меньше другого, а гипотенуза равна 20 см.

Уравнение. х 2 +(х+4) 2 =20 2 х 2 +4х-192=0. х 1 =-16, х 2 = 12. По смыслу задачи значение х должно быть положительным числом. Этому условию удовлетворяет только второй корень, т.е. число 12 — меньший катет. Тогда больший катет будет 16 см.

Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью 40м/с. Через сколько секунд оно окажется на высоте 60м?

Решение: из курса физики известно, что если не учитывать сопротивление воздуха, то высота h(м), на которой брошенное вертикально вверх тело окажется через t(с), может быть найдена по формуле h=V 0 t-gt 2 /2, где V 0 (м/с) — начальная скорость, g — ускорение свободного падения, приближенно равно 10 м/с 2 . 60=40t-5t 2 . Отсюда 5t 2 -40t+60=0, t 2 -8t+12=0. Решив полученное уравнение, найдем, что t 1 = 2 , t 2 = 6. график зависимости h от t, где h= 40t-5t 2 . Из графика видно, что тело, брошенное вертикально вверх, в течение первых 4 с поднимается вверх до высоты 80м, а затем начинает падать. На высоте 60 м от земли оно оказывается дважды: через 2 с и через 6 с после броска. Условию задачи удовлетворяют оба найденных корня.

На высоте 60 м тело окажется через 2 с и через 6 с.

Произведение двух натуральных чисел, одно из которых на 6 больше другого, равно 187. Найдите эти числа. х (х+6) = 187 х 2 + 6х -187=0

Решение: D ==784› 0 → уравнение имеет 2 действительных различных корня х 1 =-17 — не удовлетворяет условию задачи, х 2 =11 — 1 число, тогда 2 число: 17.

Найдите периметр прямоугольника, длина которого на 4 см больше ширины, а площадь равна 60 см 2 .

Решение: х (х+4) = 60, х 2 +4х-60=0, D 1 = 2 2 -1×(-60) = 4+60= 64. х 1 = -10 — не удовлетворяет условию задачи, х 2 =6 — ширина прямоугольника, тогда длина 10 см. Периметр Р=2(а+в) , Р= 2( 6+10)= 32 (см).

Периметр прямоугольника равен 62 м. Найдите его стороны, если площадь прямоугольника равна 210 м 2 .

Решение. Составим и решим уравнение: х (31-х)= 210 х 2 — 31х + 210=0, D= 121, х 1 = 10 х 2 =21 .

Найдите катеты и гипотенузу прямоугольного треугольника, если известно, что их сумма равна 23 см, а площадь данного треугольника равна 60 м 2 .

Решение: Пусть один катет прямоугольного треугольника равна х м, тогда второй катет (23-х) м. По условию задачи площадь треугольника 60 м 2 . Составим и решим уравнение: 0,5х ( 23-х)= 60 D= 49, х 1 = 8 х 2 =15 .

Ответ: 8 см; 15 см и 17 см.

В кинотеатре число мест в ряду на 8 больше числа рядов. Сколько рядов в кинотеатре, если всего в нем имеется 884 места? Решение: Пусть в кинотеатре х рядов, тогда (х+8) мест. Всего в нем имеется 884 места. Составим и решим уравнение: х ( х+8)= 884 D 1 = 900, х 1 = -34 — не удовлетворяет смыслу задачи х 2 =26 .

Задачи на движение. С автобусной станции выехал автобус до железнодорожного вокзала, находящемся на расстоянии 40 км. Один из пассажиров автобуса опоздал к отправлению, и поехал на железнодорожный вокзал на такси, через 10 минут после автобуса. Автобус и такси приехали на железнодорожный вокзал одновременно. Известно также, что скорость такси на 20 км/ч больше скорости автобуса. Необходимо найти скорость такси и скорость автобуса. Решение можно оформить в виде таблицы.

Пусть -х км/ч- скорость автобуса, а скорость такси (х+20)км/ч.

Разница во времени 10 минут =10:60= часа. Уравнение —=

—= х 2 +20x-4800 = 0; х=-80, не подходит. Значит х=60, скорость автобуса равна 60 километрам в час. А следовательно, скорость такси равна 80 км/ч.

Ответ: Скорость автобуса 60 км/ч, скорость такси 80 км/

Теплоход, собственная скорость которого 18 км/ч, прошел 50 км по течению реки и 8 км против течения, затратив на весь путь 3 часа. Какова скорость течения реки? Решение. Пусть -х км/ч- скорость автобуса.

Движение теплохода по течению

Движение теплохода против течению

Суммарное время 3 часа. Уравнение +=3

3х 2 -42х+72=0, х=12 – не подходит по условию задачи, следовательно скорость течения х=2 км/ч.

Вертолет пролетел по ветру расстояние 120 км и обратно вернулся, потратив на весь путь 6 час. Найдите скорость ветра, если скорость в штиль составляет 45 км/час. Решение: Обозначим скорость ветра через х км/час. Тогда за ветром скорость вертолета составит (45+х) км/час, и в обратном направлении (45-х) км/час . По условию задачи вертолет потратил 6 часов на дорогу.
Разделив расстояние на скорость и, просуммировав, получим время
Получили дробно рациональное уравнение, схема решения которого неоднократно повторялась

Решением второго уравнения будут значения x=-45; x=45. Корни числителя найдем после упрощений

С физических соображений первое решение отвергаем. Ответ: скорость ветра 15 км/час.

Скорость ветра 15 км/час.

Грузовик остановился для заправки горючим на 24 минуты. Увеличив свою скорость на 10км/ч, он наверстал потерянное время на пути в 80 км. С какой скоростью двигался грузовик на этом пути?. х 2 +10х-2000=0, х=-50 и х=40.

Задачи о совместной работе. Д ва лесоруба, работая вместе, выполнили норму вырубки за 4 дня. Сколько дней нужно на выполнение этой работы каждому лесорубу отдельно, если первому для вырубки нормы нужно на 6 дней меньше, чем другому? Решение: Пусть первый лесоруб выполняет норму по х дней. Тогда второму необходимо (х+6) дней.
Решение можно оформить в виде таблицы. Пусть – первый лесоруб выполняет норму за х дней.

Источник